Системы счисления — это способы представления чисел, определяющие, как числа записываются и интерпретируются. Каждая система счисления использует основание (или базу), которое определяет, сколько разрядов (цифр) доступно для представления чисел. Основание системы счисления указывает, какие символы или цифры допустимы в записи числа.
Наиболее распространенные системы счисления включают:
- Десятичная система (основание 10) — использует цифры с 0 по 9 (10 цифр) и является наиболее распространенной в повседневной жизни.
- Двоичная система (основание 2) — использует только цифры 0 и 1 и часто используется в компьютерах для представления данных и выполнения операций.
- Восьмеричная система (основание 8) — использует цифры с 0 по 7. Иногда используется в программировании.
- Шестнадцатеричная система (основание 16) — использует цифры с 0 по 9 и буквы A-F (всего 16 символов). Также часто используется в программировании.
Системы счисления нужны для представления чисел в удобной и понятной форме для людей и компьютеров. Каждая система счисления имеет свои применения. Например, двоичная система идеально подходит для внутреннего представления данных в компьютерах, где состояния выражаются как 0 и 1. Десятичная система широко используется в повседневных расчетах.
Существует теоретически бесконечное количество систем счисления с различными основаниями. Вычислить их все не представляется возможным, но на практике наиболее распространены системы с основаниями от 2 до 16.
Примеры вычисления чисел в разных системах счисления:
Пример 1: Перевод из двоичной в десятичную систему счисления:
Двоичное число: 101010
- Распишем двоичное число по разрядам: 1 0 1 0 1 0.
- Умножим каждый разряд на соответствующую степень двойки, начиная справа:
- 1 * 2^5 = 32
- 0 * 2^4 = 0
- 1 * 2^3 = 8
- 0 * 2^2 = 0
- 1 * 2^1 = 2
- 0 * 2^0 = 0
- Сложим результаты: 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0 = 42.
Таким образом, двоичное число 101010 в десятичной системе равно 42.
Пример 2: Перевод из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления:
Десятичное число: 187
- Для перевода в шестнадцатеричную систему делим число на 16 и записываем остатки.
- 187 / 16 = 11 с остатком 11 (B в шестнадцатеричной системе)
- 11 / 16 = 0 с остатком 11 (B в шестнадцатеричной системе)
- Результат записываем справа налево: BB.
Таким образом, десятичное число 187 в шестнадцатеричной системе равно BB.
Это всего лишь два примера перевода между системами счисления. Принципы такие же для перевода в любую систему: разбиение числа на разряды и использование соответствующих степеней основания системы для вычисления значения.